Sobre desigualdades: Entrada 1

Hola. Esta es la primera de una serie de entradas, en donde intentaré introducir un tema bastante recurrente en los problemas de olimpiada de matemáticas: las desigualdades. Cuando hablamos de representar los números reales, es bastante común pensar el conjunto de tales números como una línea recta, que tendrá un punto especial el cual será el "cero", que nos ayudará a identificar los números positivos y los negativos. Por otra parte, tenemos también la noción intuitiva de comparar números en la recta real, diciendo que uno es mayor que otro si está "más a la derecha". En ésta y las próximas entradas, abordaremos el tema con una pizca de formalismo, el cual nos ayudará a entender la importancia de ciertas propiedades, que en un principio nos parecen obvias y sin muchas consecuencias. Todo lo anterior lo intentaré hacer si perder el punto de vista intuitivo. Pues bien, ¡manos a la obra!

Informalmente, los números reales son aquellos números que se pueden expresarse en notación decimal $^{(1)}$. Los números reales incluyen a los números racionales $($aquellos que pueden expresarse de la forma $\frac{m}{n}$, con $m,n$ enteros y $n\neq0$$)$ y los números irracionales $($los que no son racionales$)$. Ejemplos de números reales son $0,-1,3/5,\pi,\sqrt{2}$, y un ejemplo de un número que no es real es $\sqrt{-1}$. Al conjunto de números reales lo denotaremos por $\mathbb{R}$.

Sabemos que en $\mathbb{R}$ podemos sumar dos números, podemos multiplicar, podemos obtener inversos para la suma y también para la multiplicación siempre y cuando el número no sea cero. Además las operaciones "sumar" y "multiplicar" satisfacen propiedades muy bonitas, por ejemplo:

• Si $a,b\in\mathbb{R}$, entonces $a+b = b+a$, y $ab=ba$
• Si $a,b,c\in\mathbb{R}$, entonces $a+(b+c) = (a+b)+c$, y $a(bc)=(ab)c$

por mencionar algunas. La lista completa de propiedades la pueden encontrar aquí. Ahora bien, el conjunto de números reales también posee la maravillosa propiedad de estar ordenado: es decir, si tomamos cualesquiera dos números reales, podemos decidir si uno de ellos es menor, o bien, son iguales. Vamos a denotar que $a$ es menor que $b$ como $a<b$. Siguiendo la línea de la intuición, el que $a$ sea menor que $b$ indica que $b$ está "más a la derecha" que $a$ en la recta real. Es fácil convencerse de la siguiente equivalencia $$a<b \qquad \Leftrightarrow \qquad b-a \mbox{ es positivo}$$

Todo lo anterior fue siguiendo la línea intuitiva, ahora comenzaremos con el trabajo "formal". Con el fin de formalizar un poco lo anterior, supondremos que $\mathbb{R}$ contiene un subconjunto $P$ el cual llamaremos el conjunto de los números positivos, donde escribiremos $x>0$ si, y sólo si, $x\in P$. De esta manera, aceptaremos como ciertas las siguientes tres propiedades:

Propiedad 1. Para todo número real $a$, se satisface una y sólo una de las siguientes tres propiedades:

• $a=0$
• $a\in P$ $($es decir, $a>0$$)$
• $-a\in P$ $($es decir, $a<0$$)$

Propiedad 2. Si $a,b\in P$, entonces $a+b\in P$ $($es decir, $a>0$ y $b>0$ implica que $a+b>0$$)$.

Propiedad 3. Si $a,b\in P$, entonces $ab\in P$ $($es decir, $a>0$ y $b>0$ implica que $ab>0$$)$.

Ahora podemos definir formalmente que $a$ es menor que $b$, si $b-a\in P$ y lo denotaremos como $a<b$. También definimos $a$ es mayor que $b$, si $b<a$. De manera análoga, definimos que $a$ es menor o igual que $b$, si $a<b$ o $a=b$, y lo denotaremos como $a\leq b$. Finalmente, decimos que $a$ es mayor o igual que $b$, si $b<a$ o $a=b$, y lo denotaremos como $a\geq b$.

Todos los hechos conocidos acerca de las desigualdades, se pueden ver como consecuencia de las tres propiedades anteriores: 

Ejemplo 1. Dados $a,b\in\mathbb{R}$, se cumple una y solo una de las siguientes propiedades: $($i$)$ $a=b$, $($ii$)$ $a<b$, $($iii$)$ $a>b$. En efecto, considerando el número real $a-b$ y utilizando la Propiedad 1, tenemos que se satisface una y sólo una de las siguientes propiedades: $($i$)$ $a-b=0$, $($ii$)$ $a-b\in P$, $($iii$)$ $-(a-b)\in P$. La primera de ellas es equivalente a $a=b$. La segunda de ellas es equivalente a $b<a$ por definición, y la tercera es equivalente a $a<b$ también por definición, que es lo que queríamos.

Ejemplo 2. Si $a,b,c\in\mathbb{R}$ y $a<b$, entonces $a+c<b+c$. Por hipótesis, $b-a\in P$. Notemos que $$b-a = b - a + 0 = b - a + (c-c) = (b+c) - (a+c)$$Así $(b+c)- (a+c)\in P$. Así por definición tenemos que $a+c<b+c$.

Notemos que el ejemplo anterior nos indica que para el caso de la suma, podemos hacer manipulaciones algebraicas como si fuera una ecuación: "Podemos pasar un número sumando o restando al otro lado de la desigualdad". Si tenemos que $a-c<b$, por el Ejemplo 2 tenemos que $(a-c)+c < b+c$,  pero $a = a +(c-c) = (a-c)+c$, por lo tanto $a<b+c$.

Ejemplo 3. Si $a,b,c\in\mathbb{R}$, $c>0$ y $a<b$, entonces $a<b+c$ y $ac<bc$. En efecto, por hipótesis, tenemos que $b-a\in P$ y $c\in P$. Por la Propiedad 2 tenemos que $(c+b) - a = c+b-a \in P$, por lo tanto $a<b+c$. Para la segunda afirmación, utilizamos la Propiedad 3 para obtener $c(b-a)\in P$, es decir, $bc - ac\in P$, por lo tanto $ac<bc$.

De manera análoga, el ejemplo anterior nos indica que para el caso de la producto por un número mayor que 0, podemos hacer manipulaciones algebraicas como si fuera una ecuación: "Podemos pasar un número positivo multiplicando o dividiendo al otro lado de la desigualdad". Si tenemos $a/c <b$ con $c>0$, entonces por el Ejemplo 3 tenemos que $c(a/c) < bc$, es decir $a<bc$. La otra aseveración corresponde a la intuición de que si un número $b$ es mayor que $a$, entonces sumándole un número positivo $c$ a $b$, se sigue satisfaciendo que $a<b+c$.

Ejemplo 4. Si $a<b$ y $b<c$, entonces $a<c$. De manera análoga, por definición tenemos que $b-a\in P$ y $c-b\in P$. Utilizando la Propiedad 2, tenemos que $c-a = (c-b) + (b-a) \in P$, que es equivalente a que $a<c$. 

El ejemplo anterior indica que la relación de desigualdad es transitiva. 

Ejemplo 5. Si $a<0$ y $b<0$, entonces $ab>0$. Por hipótesis, tenemos que $-a\in P$ y $-b\in P$. Por la propiedad 3, tenemos que $(-a)(-b)\in P$, pero $ab = (-a)(-b)$, así $ab\in P$. Por lo tanto $ab>0$.

De la Propiedad 3 y del Ejemplo 5, tomando $a=b$ se desprende una desigualdad fundamental: Si $a\neq0$ entonces $a^2>0$. De esta manera, siguiendo nuestro enfoque formal obtenemos algo obvio para nosotros: Tomando $a=1$, entonces $1=1^2>0$.

Ejemplo 6. Si $a<b$ y $c<d$, entonces $a+c<b+d$. En efecto, como $a<b$, del Ejemplo 2 tenemos que $a+c<b+c$. Como $c<d$, también del ejemplo 2 tenemos que $b+c<b+d$. Finalmente, del Ejemplo 4, como $a+c<b+c$ y $b+c<b+d$, concluimos que $a+c<b+d$.

Ejemplo 7. Si $a<b$ y $c<0$, entonces $bc<ac$. Por hipótesis tenemos que $-c\in P$, es decir $-c>0$. Por el Ejemplo 3, tenemos que $a(-c)<b(-c)$, es decir, $-ac<-bc$. Por el Ejemplo 2, sumando $ac$ tenemos que $0<ac-bc$, y nuevamente, del Ejemplo 2, sumando $bc$ tenemos que $bc<ac$, que era lo que queríamos.

Podemos observar que en las demostraciones de los primeros ejemplos, tuvimos qué utilizar la definición que hace referencia al conjunto $P$, pero en los últimos ejemplos utilizamos lo que ya habíamos demostrado $:)$. He ahí algo que me gusta de las matemáticas: podemos construir cosas nuevas y mejores fácilmente a partir de lo que ya tenemos.

A continuación dejo algunos ejercicios, similares a los ejemplos descritos. Cualquier duda sobre el escrito o sobre los ejercicios, o incluso preguntar sobre algún hint o sobre si es correcta su solución, no duden en escribir en los comentarios. ¡Saludos!

Ejercicio. Demostrar las siguientes desigualdades. Puedes utilizar los Ejemplos anteriormente demostrados.
1. Si $a<b$ entonces $-b<-a$.
2. Si $a<0$ y $b>0$, entonces $ab<0$.
3. Si $a>0$, entonces $\frac{1}{a}>0$.
4. Si $a<0$, entonces $\frac{1}{a}<0$.
5. Si $a>0$ y $b>0$ entonces $\frac{a}{b}>0$.
6. Si $1<a$, entonces $a<a^2$.
7. Si $0<a<1$, entonces $a^2<a$.
8. Si $0<a<b$ y $0<c<d$, entonces $ac<bd$.
9. Si $0<a$, $0<b$ y $a^2<b^2$, entonces $a<b$.
10. Si $b>0$, entonces $\frac{a}{b}>1$ si, y sólo si, $a>b$.

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$(1)$ En realidad, haciendo unos cuantos ajustes así se pueden construir formalmente los números reales. Para lectores un poco más avanzados, pueden leer M. Spivak, Cálculo Infinitesimal, Segunda Edición. Págs. 826-827.