Principio del Descenso Infinito de Fermat

     A continuación estudiaremos una herramienta bastante usada en Teoría de Números. El Principio del Descenso Inifinito de Fermat $($PDIF$)$ establece que no hay sucesiones estrictamente decreciente de enteros positivos. Es decir:

No existe una sucesión de enteros positivos $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $a_1>a_2>a_3>\cdots$

De manera alternativa

Si una sucesión de enteros positivos $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ satisface que $a_1\geq a_2 \geq a_3 \geq\cdots ,$ entonces existe $i_0\in\mathbb{N}$ tal que $a_i = a_{i_0}$, para todo $i\geq i_0$.

A continuación veremos algunas aplicaciones bastante interesantes del PDIF.

Ejemplo 1. Encuentra todas las tripletas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $$x^3+2y^3=4z^3$$

Solución. Supongamos que tenemos una solución no trivial de enteros positivos $(x_1,y_1,z_1)$ de la ecuación anterior, es decir $x_1^3+2y_1^3=4z_1^3$. De lo anterior, claramente $2|x_1$, por lo tanto $x_1=2x_2$, para algún entero positivo $x_2$. Por propiedades de divisibilidad, como $x_1>0$ entonces $x_1>x_2$. De aquí tenemos que $4x_2^3+y_1^3=2z_1^3$. Por lo tanto $2|y_1$ y de manera análoga $y_1 = 2y_2$ para algún entero positivo $y_2$ que satisface que $y_1>y_2$. Similarmente $z_1=2z_2$, con $z_2$ entero positivo y menor que $z_1$. De esta manera obtenemos que $x_2^3 + 2y_2^3=4z_2^3$. Así obtenemos una nueva solución de la anterior, con la propiedad de que $x_1>x_2$, $y_1>y_2$ y $z_1>z_2$. Continuando con éste procedimiento obtenemos una sucesión de tripletas de enteros positivos $\{(x_n,y_n,z_n)\}_{n\geq1}$ tal que $x_1>x_2>x_3>\cdots$, lo cuál contradice el PDIF. Por lo tanto la ecuación inicial no tiene soluciones en los enteros positivos. $\blacksquare$

Ejemplo 2. En cada punto con coordenadas enteras en el plano está escrito un entero positivo tal que cada uno de esos números es la media aritmética de sus cuatro vecinos. Demuestra que todos los números son iguales.

Solución. Para $n\geq1$, consideremos el cuadrado de lado $2n$ centrado en el origen. Entre todos los números que están cubiertos por el cuadrado, el más pequeño debe de estar sobre el perímetro. Denotemos el mínimo por $m(n)$. Si el mínimo se alcanza también en un punto del interior del cuadrado, entonces los cuatro vecinos de ese punto interior deben de ser iguales, y paso por paso, mostramos que todos los números adentro del cuadrado deben de ser iguales. Por lo tanto existen dos posibilidades. Ya sea $m(1)>m(2)>m(3)>\cdots$ o bien, $m(n)=m(n+1)$ para una cantidad infinita de $n$. El primer caso es imposible, puesto que los números $m(n)$'s son enteros positivos; el segunda caso implica que todos los números son iguales. $\blacksquare$

Encontramos aún más espectacular este problema de la Olimpiada de Matemáticas de USA del 2004.

Ejemplo 3. Supongamos que $a_1,\ldots,a_n$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es 1. Sea $S$ un conjunto de enteros con las siguientes propiedades:

1. Para $i=1,\ldots,n$, $a_i\in S$.
2. Para $i,j=1,\ldots,n$ $($no necesariamente distintos $)$, $a_i-a_j\in S$.
3. Para cualesquiera enteros $x,y\in S$, si $x+y\in S$, entonces $x-y\in S$.

Demuestra que $S$ debe ser igual al conjunto de todos los enteros.

Solución. Primera cosa, notemos que si $b_1,b_2,\ldots,b_m$ son algunos enteros que generan a $S$ y satisfacen las tres condiciones del enunciado, entonces $b_1-2b_j$ y $2b_i-b_j$ están también en $S$para cualesquiera índices $i$ y $j$, puesto como $b_i$, $b_j$ y $b_i-b_j$ están $S$, por el inciso 3, $b_i-2b_j\in S$. Además, si $i=j$ en el inciso 2, encontramos que $0=b_i-b_j \in S$. Aplicando 3 a $x\in S$ y $0$ tenemos que $-x\in S$ también, y en particular $2b_i-b_j\in S$.

     Una $n-$tupla $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ como arriba puede ser sustituida por $(b_1,b_2-b_1,\ldots,b_n-b_1)$, la cuál de nueva cuenta genera a $S$ y, por lo que acabamos de demostrar, satisface los incisos 1, 2 y 3. Aplicando este paso a $(|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_n|)$ y suponiendo también que $|a_1|$ es el más pequeño de esos números, encontramos otra $n-$tupla cuya suma de las entradas es más pequeña. Como nosotros no podemos tener un descenso infinito, nosotros eventualmente llegamos a una $n-$tupla con algunas entradas iguales a $0$. Observemos que en el proceso, nosotros no cambiamos el máximo común divisor de las entradas. Ignorando las entradas iguales a $0$, nosotros repetimos el procedimiento hasta que solamente quede una entrada distinta de cero. Este número debe ser igual a 1. Del hecho de que $0,1\in S$ y también que $-1\in S$, aplicando 3 a $x=1$, $y=-1$, tenemos que $2\in S$, e inductivamente encontramos que todos los enteros positivos están en $S$ y de igual manera todos los enteros negativos están en $S$. Así concluímos que $S=\mathbb{Z}$. Y como alguien dijo por ahí "An elegant proof hits you between your eyes with joy." $\blacksquare$

Finalmente, dejamos unos problemas para practicar el PDIF.

Problema 1. Demuestra que no hay enteros positivos $x$, $y$, $z$ que satisfagan la ecuación $$x^2+10y^2=3z^2$$

Problema 2. Demuestra que el sistema de ecuaciones $$x^2+5y^2=z^2$$ $$5x^2+y^2=t^2$$ no admite soluciones no triviales de enteros.

Problema 3. Demuestra que no hay una progresión aritmética infinita cuyos términos sean todos cuadrados perfectos.

Problema 4. Demuestra que para ningún entero $n>1$, se satisface que $n$ divide a $2^n-1$.

Problema 5. Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ con la propiedad de que $ab+a+b$ divide a $a^2+b^2+1$.

Cualquier duda al respecto no duden en escribirme. 

Saludos.