En la entrada 1, tratamos de estudiar un poco las desigualdades desde el punto de vista axiomático. Continuando con esa línea, veamos qué podemos obtener de lo anterior. El objetivo de esta entrada es introducir el concepto de valor absoluto, y ver algunas consecuencias de la desigualdad $x^2\geq0$ para todo $x\in\mathbb{R}$.
Dado un número real $a$, se define el valor absoluto de $a$, el cual se denota por $|a|$, como $$|a| = \left \{ \begin{matrix} a & \mbox{si }a\geq0 \\ -a & \mbox{si }a<0\end{matrix}\right. $$Por la manera en que lo definimos, claramente $|a|\geq 0$ para todo $a\in\mathbb{R}$, y más aún, $|a|=0$ si, y sólo si, $a=0$. Podemos pensar que el valor absoluto es simplemente "quitarle el signo al número", de esta manera $a\leq |a|$, aunque es mucho mejor la interpretación geométrica: $|a|$ representa la distancia que hay en la recta real entre el número $a$ y $0$. De hecho, el valor absoluto lo podemos ver como una "función distancia", pues $|a-b|$ representa la distancia que hay entre cualesquiera números reales $a$ y $b$. La demostración de la siguiente proposición se desprende directamente de la definición anterior.
Proposición 1. Para cualesquiera números reales $a$ y $b$ se tiene:
I. $|a| = |-a|$.
II. $|a|^2 = a^2$.
III. $|ab| = |a||b|$.
IV. $a\leq|a|$.
IV. $a\leq|a|$.
Proposición 2. $($Desigualdad del triángulo$)$ Para cualesquiera números reales $a$ y $b$ se tiene que $$|a+b|\leq |a|+|b|,$$con igualdad si, y sólo si, $ab\geq0$.
Demostración. Si alguno de los números es $0$, la desigualdad se sigue de manera obvia. Supongamos que los dos números son distintos de $0$. Si $|a+b| = 0$, entonces la desigualdad también se sigue. Así, podemos suponer que ambos lados de la desigualdad son positivos. Utilizaremos el Ejercicio 9 de la Entrada 1, el cual establece que si $0<x$, $0<y$ y $x^2<y^2$, entonces $x<y$. Para este caso, $x=|a+b|$ y $y = |a| +|b|$. De esta manera, basta demostrar que $|a+b|^2\leq (|a|+|b|)^2$, lo cual se sigue de la Proposición 1 y del siguiente desarrollo algebraico:
$$|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = |a|^2+2ab+|b|^2\leq |a|^2 +2|ab| + |b|^2$$$$=|a|^2+2|a||b|+|b|^2 = (|a|+|b|)^2$$En las relaciones anteriores solamente hay una desigualdad, $ab \leq |ab|$, la cual es igualdad si, y sólo si, $ab>0$, con lo cual terminamos la demostración. $\blacksquare$.
Más generalmente, se satisface que para cualesquiera números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ se tiene que $$\left|\sum_{k=1}^nx_k\right|\leq\sum_{k=1}^n|x_k|$$La demostración del hecho anterior puede realizarse, por ejemplo, por inducción sobre $n$.
Ejemplo 1. $|x|\leq b \,\Leftrightarrow\,-b\leq x \leq b$. En efecto, por la definición de valor absoluto, tenemos que $x\leq |x|$ y $-x\leq |x|$. Por transitividad de las relación de desigualdad, $|x|\leq b$ es equivalente $x\leq b$ y $-x\leq b$, así $x\leq b$ y $-b\leq x$, que es lo mismo que $-b\leq x\leq b$, como queríamos.
Ejemplo 2. $|x|-|y|\leq |x-y|$. Aquí se usa un truco bastante común en desigualdades involucradas con valores absolutos: sumar $0$ adecuadamente y utilizar la desigualdad del triángulo como sigue:
$$|x| = |x+0| = |x - y + y| \leq |x-y| + |y|$$Restando a ambos lados de la desigualdad el número $|y|$, se sigue que $|x|-|y|\leq |x-y|$, como queríamos.
Ahora retomemos una desigualdad probada en la Entrada 1: Si $a\in\mathbb{R}$, entonces $a^2\geq0$. La desigualdad anterior es fundamental porque en cierto sentido, casi todas las desigualdades numéricas se desprenden de ella. Notemos que la igualdad se da solamente si $a=0$. Una manera de generalizar lo anterior, en base a las propiedades ya probadas es la siguiente: Si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son números reales, se satisface que
$$x_1^2+x_2^2+\cdots + x_n^2\geq 0$$
con igualdad si, y sólo si $x_1=x_2=\cdots=x_n = 0$.
Veamos algunos ejemplos para ver la importancia de la desigualdad anterior:
Ejemplo 3. Si $x,y>0$ entonces se satisface que $$\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}$$ con igualdad si, y solamente si, $x = y$.
Solución. Como $x$ y $y$ son positivos, tiene sentido considerar las cantidades $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$. Si consideramos al número real $\sqrt{x}-\sqrt{y}$, por la desigualdad anterior, tenemos que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$. Pero $$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 -2\sqrt{x}\sqrt{y}+ (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy}+ y$$Así, $x - 2\sqrt{xy}+ y\,\geq 0$, y haciendo las manipulaciones algebraicas $($que ya sabemos que sí las podemos hacer$)$ tenemos que $$x - 2\sqrt{xy}+ y\geq 0\,\Leftrightarrow x+y\geq 2\sqrt{xy}\,\Leftrightarrow \,\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$$Para finalizar, vemos que la igualdad se satisface si y sólo si $\sqrt{x}-\sqrt{y}= 0$, lo cual es equivalente a $x=y$, que es lo que queríamos. $\blacksquare$
La desigualdad anterior es conocida como Desigualdad Media Geométrica - Media Aritmética, y cuando nos refiramos a ella, lo haremos por las siglas MG - MA.
Para el segundo ejemplo, consideremos la desigualdad $$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\geq 0$$la cual claramente se satisface, y la igualdad ocurre si, y sólo si, $ x- y = y-z = z-x = 0$, es decir, $x=y = z$. Desarrollando los cuadrados en la desigualdad, obtenemos que $$x^2 -2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\geq0$$que es equivalente a $$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\qquad(*)$$con igualdad si, y sólo si, $x=y=z$.
Ejemplo 4. Si se sabe que la ecuación $x^3+mx^2+x+n=0$ tiene tres raíces positivas cuyos cuadrados suman 1, ¿cuál es el valor de $m$, $n$ y las raíces?.
Solución. Si $a,b,c$ son las raíces de la ecuación anterior, tenemos que $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3+mx^2+x+n$. Pero $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + (-a-b-c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$. Comparando ambas expresiones, deducimos que $ab+bc+ca = 1$. Pero por hipótesis, tenemos que $a^2+b^2+c^2=1$. En particular tenemos que $ab+bc+ca = a^2+b^2+c^2$. Utilizando la desigualdad $(*)$, para que se de la igualdad, necesariamente se debe de cumplir que $a=b=c$, por lo tanto las tres raíces son iguales. Así, por hipótesis tenemos que $3a^2=1$, de donde $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$, por lo que las tres raíces valen $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Nuevamente, comparando las ecuaciones obtenidas al principio de la solución, tenemos que $-a-b-c = m$ y $-abc = n$. Como $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$, concluimos que $m=-3a = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$ y $n = -a^3 =-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$ con lo cual terminamos.
La desigualdad $x^2\geq 0$ juega un papel muy importante a la hora de encontrar máximos o mínimos de una función cuadrática $f(x) = ax^2+2bx+c$, las cuales aparecen con frecuencia en problemas de optimización o bien, de desigualdades.
Analicemos el caso en el que $a>0$. De cuando alguna vez hicimos una gráfica de una cuadrática en la secundaria, la gráfica de $f(x) = ax^2+2bx+c$ corresponde a una parábola que "abre hacia arriba", es decir, la función posee un mínimo. Veamos que el mínimo ocurre cuando $x=-\frac{b}{a}$ y el valor del mínimo es $c-\frac{b^2}{a}$. En efecto, utilizando el truco de sumar y restar $0 = \frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}$, tenemos que:
$$ax^2+2bx+c = a\left(x^2+2\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{a^2}\right)+c-\frac{b^2}{a} = a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2+c-\frac{b^2}{a}$$Como $\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\geq0$, y el valor mínimo de esta última expresión es cero cuando $x=-\frac{b}{a}$, tenemos que el valor mínimo de la cuadrática es $c-\frac{b^2}{a}$. Para el caso en que $a<0$, la cuadrática posee un máximo, y haciendo un desarrollo análogo al anterior, obtenemos que el máximo se alcanza cuando $x=-\frac{b}{a}$ y el valor de tal máximo está dado por $c-\frac{b^2}{a}$. Notemos que el proceso anterior se puede realizar utilizando el clásico proceso de Cálculo Diferencial $($derivar la función e igualar a cero la derivada$)$, pero en este caso lo obtuvimos fácilmente por métodos elementales.
Ejemplo 5. Si $x,y$ son números positivos con $x+y=2a$, donde $a$ es un número fijo, el producto $xy$ alcanza su máximo cuando $x=y=a$.
Solución. Si $x+y=2a$, entonces $y=2a-x$. Por lo que $xy = x(2a-x) = -x^2+2ax$. Utilizando el desarrollo anterior, al hacer la sustitución correspondiente concluimos que el máximo se alcanza cuando $x = -\frac{a}{-1} = a$, así $y=2a-x =2a-a=a$. Por lo tanto el máximo se alcanza cuando $x=y=a$.
Notemos que lo anterior se puede interpretar geométricamente como sigue: de los rectángulos de perímetro fijo, el de mayor área es el cuadrado. Lo anterior es claro puesto que si $x,y$ son los lados del rectángulo de perímetro $2x+2y=4a$, o equivalentemente, $x+y=2a$, su área es $xy$, que es máxima cuando $x=y=a$, es decir, el rectángulo es un cuadrado.
Ahora demostraremos una célebre desigualdad.
Ejemplo 6. $($Desigualdad de Cauchy-Schwarz$)$ Si $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales. Entonces se satisface que $$\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)$$con igualdad solamente si existe $\lambda$ tal que $a_k = \lambda b_k$, para $k=1,2,\ldots,n$.
Solución. Para facilitar la notación, escribamos $$A=\sum_{k=1}^nb_k^2$$ $$B=\sum_{k=1}^na_kb_k$$ $$C=\sum_{k=1}^n a_k^2$$
Ahora bien, para cada número real $t$, definamos la función cuadrática $$f(t) = \sum_{k=1}^n (a_k-tb_k)^2$$Claramente por definición, $f(t)\geq 0$, para cada $t\in\mathbb{R}$. Además, desarrollando cada uno de los cuadrados y agrupando términos convenientemente, obtenemos que $$f(t) = \sum_{k=1}^n (a_k^2 - 2ta_kb_k + t^2b_k^2)$$ $$= \sum_{k=1}^n a_k^2 - 2t\sum_{k=1}^na_kb_k + t^2\sum_{k=1}^n b_k^2$$ $$=At^2+2(-B)t + C$$
Claramente si $A = 0$, entonces $b_1=b_2=\cdots=b_n=0$, por lo que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se satisface claramente. De manera análoga si $C=0$ la desigualdad también se satisface. Supongamos que $A\neq0$. Como $A$ es suma de cuadrados, tenemos que $A>0$. Utilizando nuestro desarrollo de optimización de funciones cuadráticas, la función $f(t)$ posee un mínimo, que se alcanza cuando $t=-\frac{-B}{A} = \frac{B}{A}$ y en este caso, el valor mínimo de $f(t)$ es $$C-\frac{B^2}{A}$$Pero como $f(t)\geq0$ para todo $t\in\mathbb{R}$, en particular para el valor de $t$ en que se alcanza el mínimo, es decir, $$f\left(\frac{B}{A}\right) = C-\frac{B^2}{A}\geq 0$$y como $A>0$, podemos multiplicar la desigualdad anterior y el sentido de la desigualdad se conservará, así tenemos que $B^2\leq AC$, es decir $$\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)$$que es lo que queríamos.
Finalmente, la igualdad ocurre si existe algún $\lambda$ tal que $f(\lambda)=0$, lo anterior es si, y sólo si, existe un $\lambda$ tal que $a_k -\lambda b_k=0$ para todo $k$, que es lo mismo que $a_k=\lambda b_k$, para $k=1,\ldots,n$, que era lo que queríamos demostrar. $\blacksquare$
Otra manera de terminar la demostración anterior a partir de la expresión $f(t) = At^2+2(-B)t + C$, sin hacer uso del desarrollo para optimización es la siguiente: Recordemos que el discriminante de una ecuación de segundo grado está definido como $\Delta = (2B)^2 - 4AC = 4(B^2-AC)$, y cuyo signo indica el número de raíces distintas que posee la ecuación $At^2+2(-B)t + C=0$. Haciendo uso de que $At^2+2(-B)t + C\geq 0$ para todo $t\in\mathbb{R}$, entonces la ecuación $At^2+2(-B)t + C=0$ tiene a lo más una raíz real $($¿por qué?$)$, por lo tanto su discriminante es menor o igual a cero. Es decir, $$\Delta\leq 0 \Leftrightarrow 4(B^2-AC)\leq 0\Leftrightarrow B^2-AC\leq 0\Leftrightarrow B^2\leq AC$$con lo cual concluimos.
En los ejemplos anteriores se expuso algunas aplicaciones de bastante interesantes, que fueron deducidas básicamente de la simple desigualdad $x^2\geq0$. En entradas posteriores, estudiaremos desigualdades que también son consecuencias de la anterior, pero cuyo uso se extiende a una cantidad muy amplia de problemas.
Para practicar lo estudiado hasta el momento, a continuación dejo una serie de ejercicios. Cualquier duda y hint que quieran, no duden en escribir en los comentarios. Hasta la próxima entrada.
Ejercicio 1. I. Si $x,y$ son números reales, demuestra que $|x-y|\leq |x|+|y|$.
II. Si $x,y$ son números reales, demuestra que $|(|x|-|y|)|\leq |x-y|$.
III. Si $x,y,z$ son números reales, demuestra que $|x+y+z|\leq |x|+|y|+|z|$.
Ejercicio 2. Si $x,y\in\mathbb{R}$ y $p>0$, demuestra que $|x+y|^p\leq 2^p(|x|^p+|y|^p)$.
Ejercicio 3. Si $x,y\in\mathbb{R}$, demuestra que $x^2+xy+y^2\geq0$.
Ejercicio 4. Si $a\geq b$ y $x\geq y$, demuestra que $ax+by\geq ay+bx$. Demuestra también que si $x,y>0$, entonces $\sqrt{\frac{x^2}{y}}+\sqrt{\frac{y^2}{x}}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$.
Ejercicio 5. Sean $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tales que $a+d=b+c$. Demostrar que $$(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+ (d-a)(b-c)\geq 0$$
Ejercicio 6. Demuestra que de todos los rectángulos de área 1, el cuadrado es el de menor perímetro $($claro, sin usar cálculo diferencial ;$)$$)$
Ejercicio 7. Para cualquier número positivo $x$, demuestra que $x+\frac{1}{x}\geq 2$.
Ejercicio 8. El polinomio $ax^2+bx+c$, es tal que $a>0$, $a+b+c\geq0$, $a-b+c>\geq0$ $a-c\geq0$ y $b^2-4ac\geq0$. Demuestra que sus raíces son reales y se encuentran en el intervalo $[-1,1]$.
Ejercicio 9. Si $a,b,c>0$, demuestra que no suceden simultáneamente las desigualdades $a(1-b)>\frac{1}{4}$, $b(1-c)>\frac{1}{4}$ y $c(1-a)>\frac{1}{4}$.
Ejercicio 10. Si $x,y>0$, demuestra que $$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\leq \frac{x+y}{2}$$
Ejercicio 11. ¿Para qué valores de $x$ se satisface la desigualdad $$\frac{a|x|+1}{x}<1?$$
Ejercicio 12. Si $a,b>0$, demuestra que $$a+b-(2-\sqrt{2})\sqrt{ab}\leq \sqrt{a^2+b^2}$$
Ejercicio 13. Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo y denotamos por $\Delta$ al valor de su área, demuestra que $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}\Delta$$
Ejercicio 14. Si $a,b,c,d$ son reales positivos, demuestra que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq \frac{64}{a+b+c+d}$$
Ejercicio 15. Si $0<r<s$ y $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números reales positivos, demuestra que $$\left(\sum_{k=1}^na_k^s\right)^{\frac{1}{s}}\leq \left(\sum_{k=1}^na_k^r\right)^{\frac{1}{r}}$$
Demostración. Si alguno de los números es $0$, la desigualdad se sigue de manera obvia. Supongamos que los dos números son distintos de $0$. Si $|a+b| = 0$, entonces la desigualdad también se sigue. Así, podemos suponer que ambos lados de la desigualdad son positivos. Utilizaremos el Ejercicio 9 de la Entrada 1, el cual establece que si $0<x$, $0<y$ y $x^2<y^2$, entonces $x<y$. Para este caso, $x=|a+b|$ y $y = |a| +|b|$. De esta manera, basta demostrar que $|a+b|^2\leq (|a|+|b|)^2$, lo cual se sigue de la Proposición 1 y del siguiente desarrollo algebraico:
$$|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = |a|^2+2ab+|b|^2\leq |a|^2 +2|ab| + |b|^2$$$$=|a|^2+2|a||b|+|b|^2 = (|a|+|b|)^2$$En las relaciones anteriores solamente hay una desigualdad, $ab \leq |ab|$, la cual es igualdad si, y sólo si, $ab>0$, con lo cual terminamos la demostración. $\blacksquare$.
Más generalmente, se satisface que para cualesquiera números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ se tiene que $$\left|\sum_{k=1}^nx_k\right|\leq\sum_{k=1}^n|x_k|$$La demostración del hecho anterior puede realizarse, por ejemplo, por inducción sobre $n$.
Ejemplo 1. $|x|\leq b \,\Leftrightarrow\,-b\leq x \leq b$. En efecto, por la definición de valor absoluto, tenemos que $x\leq |x|$ y $-x\leq |x|$. Por transitividad de las relación de desigualdad, $|x|\leq b$ es equivalente $x\leq b$ y $-x\leq b$, así $x\leq b$ y $-b\leq x$, que es lo mismo que $-b\leq x\leq b$, como queríamos.
Ejemplo 2. $|x|-|y|\leq |x-y|$. Aquí se usa un truco bastante común en desigualdades involucradas con valores absolutos: sumar $0$ adecuadamente y utilizar la desigualdad del triángulo como sigue:
$$|x| = |x+0| = |x - y + y| \leq |x-y| + |y|$$Restando a ambos lados de la desigualdad el número $|y|$, se sigue que $|x|-|y|\leq |x-y|$, como queríamos.
Ahora retomemos una desigualdad probada en la Entrada 1: Si $a\in\mathbb{R}$, entonces $a^2\geq0$. La desigualdad anterior es fundamental porque en cierto sentido, casi todas las desigualdades numéricas se desprenden de ella. Notemos que la igualdad se da solamente si $a=0$. Una manera de generalizar lo anterior, en base a las propiedades ya probadas es la siguiente: Si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son números reales, se satisface que
$$x_1^2+x_2^2+\cdots + x_n^2\geq 0$$
con igualdad si, y sólo si $x_1=x_2=\cdots=x_n = 0$.
Veamos algunos ejemplos para ver la importancia de la desigualdad anterior:
Ejemplo 3. Si $x,y>0$ entonces se satisface que $$\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}$$ con igualdad si, y solamente si, $x = y$.
Solución. Como $x$ y $y$ son positivos, tiene sentido considerar las cantidades $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$. Si consideramos al número real $\sqrt{x}-\sqrt{y}$, por la desigualdad anterior, tenemos que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$. Pero $$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 -2\sqrt{x}\sqrt{y}+ (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy}+ y$$Así, $x - 2\sqrt{xy}+ y\,\geq 0$, y haciendo las manipulaciones algebraicas $($que ya sabemos que sí las podemos hacer$)$ tenemos que $$x - 2\sqrt{xy}+ y\geq 0\,\Leftrightarrow x+y\geq 2\sqrt{xy}\,\Leftrightarrow \,\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$$Para finalizar, vemos que la igualdad se satisface si y sólo si $\sqrt{x}-\sqrt{y}= 0$, lo cual es equivalente a $x=y$, que es lo que queríamos. $\blacksquare$
La desigualdad anterior es conocida como Desigualdad Media Geométrica - Media Aritmética, y cuando nos refiramos a ella, lo haremos por las siglas MG - MA.
Para el segundo ejemplo, consideremos la desigualdad $$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\geq 0$$la cual claramente se satisface, y la igualdad ocurre si, y sólo si, $ x- y = y-z = z-x = 0$, es decir, $x=y = z$. Desarrollando los cuadrados en la desigualdad, obtenemos que $$x^2 -2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\geq0$$que es equivalente a $$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\qquad(*)$$con igualdad si, y sólo si, $x=y=z$.
Ejemplo 4. Si se sabe que la ecuación $x^3+mx^2+x+n=0$ tiene tres raíces positivas cuyos cuadrados suman 1, ¿cuál es el valor de $m$, $n$ y las raíces?.
Solución. Si $a,b,c$ son las raíces de la ecuación anterior, tenemos que $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3+mx^2+x+n$. Pero $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + (-a-b-c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$. Comparando ambas expresiones, deducimos que $ab+bc+ca = 1$. Pero por hipótesis, tenemos que $a^2+b^2+c^2=1$. En particular tenemos que $ab+bc+ca = a^2+b^2+c^2$. Utilizando la desigualdad $(*)$, para que se de la igualdad, necesariamente se debe de cumplir que $a=b=c$, por lo tanto las tres raíces son iguales. Así, por hipótesis tenemos que $3a^2=1$, de donde $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$, por lo que las tres raíces valen $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Nuevamente, comparando las ecuaciones obtenidas al principio de la solución, tenemos que $-a-b-c = m$ y $-abc = n$. Como $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$, concluimos que $m=-3a = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$ y $n = -a^3 =-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$ con lo cual terminamos.
La desigualdad $x^2\geq 0$ juega un papel muy importante a la hora de encontrar máximos o mínimos de una función cuadrática $f(x) = ax^2+2bx+c$, las cuales aparecen con frecuencia en problemas de optimización o bien, de desigualdades.
Analicemos el caso en el que $a>0$. De cuando alguna vez hicimos una gráfica de una cuadrática en la secundaria, la gráfica de $f(x) = ax^2+2bx+c$ corresponde a una parábola que "abre hacia arriba", es decir, la función posee un mínimo. Veamos que el mínimo ocurre cuando $x=-\frac{b}{a}$ y el valor del mínimo es $c-\frac{b^2}{a}$. En efecto, utilizando el truco de sumar y restar $0 = \frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}$, tenemos que:
$$ax^2+2bx+c = a\left(x^2+2\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{a^2}\right)+c-\frac{b^2}{a} = a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2+c-\frac{b^2}{a}$$Como $\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\geq0$, y el valor mínimo de esta última expresión es cero cuando $x=-\frac{b}{a}$, tenemos que el valor mínimo de la cuadrática es $c-\frac{b^2}{a}$. Para el caso en que $a<0$, la cuadrática posee un máximo, y haciendo un desarrollo análogo al anterior, obtenemos que el máximo se alcanza cuando $x=-\frac{b}{a}$ y el valor de tal máximo está dado por $c-\frac{b^2}{a}$. Notemos que el proceso anterior se puede realizar utilizando el clásico proceso de Cálculo Diferencial $($derivar la función e igualar a cero la derivada$)$, pero en este caso lo obtuvimos fácilmente por métodos elementales.
Ejemplo 5. Si $x,y$ son números positivos con $x+y=2a$, donde $a$ es un número fijo, el producto $xy$ alcanza su máximo cuando $x=y=a$.
Solución. Si $x+y=2a$, entonces $y=2a-x$. Por lo que $xy = x(2a-x) = -x^2+2ax$. Utilizando el desarrollo anterior, al hacer la sustitución correspondiente concluimos que el máximo se alcanza cuando $x = -\frac{a}{-1} = a$, así $y=2a-x =2a-a=a$. Por lo tanto el máximo se alcanza cuando $x=y=a$.
Notemos que lo anterior se puede interpretar geométricamente como sigue: de los rectángulos de perímetro fijo, el de mayor área es el cuadrado. Lo anterior es claro puesto que si $x,y$ son los lados del rectángulo de perímetro $2x+2y=4a$, o equivalentemente, $x+y=2a$, su área es $xy$, que es máxima cuando $x=y=a$, es decir, el rectángulo es un cuadrado.
Ahora demostraremos una célebre desigualdad.
Ejemplo 6. $($Desigualdad de Cauchy-Schwarz$)$ Si $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales. Entonces se satisface que $$\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)$$con igualdad solamente si existe $\lambda$ tal que $a_k = \lambda b_k$, para $k=1,2,\ldots,n$.
Solución. Para facilitar la notación, escribamos $$A=\sum_{k=1}^nb_k^2$$ $$B=\sum_{k=1}^na_kb_k$$ $$C=\sum_{k=1}^n a_k^2$$
Ahora bien, para cada número real $t$, definamos la función cuadrática $$f(t) = \sum_{k=1}^n (a_k-tb_k)^2$$Claramente por definición, $f(t)\geq 0$, para cada $t\in\mathbb{R}$. Además, desarrollando cada uno de los cuadrados y agrupando términos convenientemente, obtenemos que $$f(t) = \sum_{k=1}^n (a_k^2 - 2ta_kb_k + t^2b_k^2)$$ $$= \sum_{k=1}^n a_k^2 - 2t\sum_{k=1}^na_kb_k + t^2\sum_{k=1}^n b_k^2$$ $$=At^2+2(-B)t + C$$
Claramente si $A = 0$, entonces $b_1=b_2=\cdots=b_n=0$, por lo que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se satisface claramente. De manera análoga si $C=0$ la desigualdad también se satisface. Supongamos que $A\neq0$. Como $A$ es suma de cuadrados, tenemos que $A>0$. Utilizando nuestro desarrollo de optimización de funciones cuadráticas, la función $f(t)$ posee un mínimo, que se alcanza cuando $t=-\frac{-B}{A} = \frac{B}{A}$ y en este caso, el valor mínimo de $f(t)$ es $$C-\frac{B^2}{A}$$Pero como $f(t)\geq0$ para todo $t\in\mathbb{R}$, en particular para el valor de $t$ en que se alcanza el mínimo, es decir, $$f\left(\frac{B}{A}\right) = C-\frac{B^2}{A}\geq 0$$y como $A>0$, podemos multiplicar la desigualdad anterior y el sentido de la desigualdad se conservará, así tenemos que $B^2\leq AC$, es decir $$\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)$$que es lo que queríamos.
Finalmente, la igualdad ocurre si existe algún $\lambda$ tal que $f(\lambda)=0$, lo anterior es si, y sólo si, existe un $\lambda$ tal que $a_k -\lambda b_k=0$ para todo $k$, que es lo mismo que $a_k=\lambda b_k$, para $k=1,\ldots,n$, que era lo que queríamos demostrar. $\blacksquare$
Otra manera de terminar la demostración anterior a partir de la expresión $f(t) = At^2+2(-B)t + C$, sin hacer uso del desarrollo para optimización es la siguiente: Recordemos que el discriminante de una ecuación de segundo grado está definido como $\Delta = (2B)^2 - 4AC = 4(B^2-AC)$, y cuyo signo indica el número de raíces distintas que posee la ecuación $At^2+2(-B)t + C=0$. Haciendo uso de que $At^2+2(-B)t + C\geq 0$ para todo $t\in\mathbb{R}$, entonces la ecuación $At^2+2(-B)t + C=0$ tiene a lo más una raíz real $($¿por qué?$)$, por lo tanto su discriminante es menor o igual a cero. Es decir, $$\Delta\leq 0 \Leftrightarrow 4(B^2-AC)\leq 0\Leftrightarrow B^2-AC\leq 0\Leftrightarrow B^2\leq AC$$con lo cual concluimos.
En los ejemplos anteriores se expuso algunas aplicaciones de bastante interesantes, que fueron deducidas básicamente de la simple desigualdad $x^2\geq0$. En entradas posteriores, estudiaremos desigualdades que también son consecuencias de la anterior, pero cuyo uso se extiende a una cantidad muy amplia de problemas.
Para practicar lo estudiado hasta el momento, a continuación dejo una serie de ejercicios. Cualquier duda y hint que quieran, no duden en escribir en los comentarios. Hasta la próxima entrada.
Ejercicio 1. I. Si $x,y$ son números reales, demuestra que $|x-y|\leq |x|+|y|$.
II. Si $x,y$ son números reales, demuestra que $|(|x|-|y|)|\leq |x-y|$.
III. Si $x,y,z$ son números reales, demuestra que $|x+y+z|\leq |x|+|y|+|z|$.
Ejercicio 2. Si $x,y\in\mathbb{R}$ y $p>0$, demuestra que $|x+y|^p\leq 2^p(|x|^p+|y|^p)$.
Ejercicio 3. Si $x,y\in\mathbb{R}$, demuestra que $x^2+xy+y^2\geq0$.
Ejercicio 4. Si $a\geq b$ y $x\geq y$, demuestra que $ax+by\geq ay+bx$. Demuestra también que si $x,y>0$, entonces $\sqrt{\frac{x^2}{y}}+\sqrt{\frac{y^2}{x}}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$.
Ejercicio 5. Sean $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tales que $a+d=b+c$. Demostrar que $$(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+ (d-a)(b-c)\geq 0$$
Ejercicio 6. Demuestra que de todos los rectángulos de área 1, el cuadrado es el de menor perímetro $($claro, sin usar cálculo diferencial ;$)$$)$
Ejercicio 7. Para cualquier número positivo $x$, demuestra que $x+\frac{1}{x}\geq 2$.
Ejercicio 8. El polinomio $ax^2+bx+c$, es tal que $a>0$, $a+b+c\geq0$, $a-b+c>\geq0$ $a-c\geq0$ y $b^2-4ac\geq0$. Demuestra que sus raíces son reales y se encuentran en el intervalo $[-1,1]$.
Ejercicio 9. Si $a,b,c>0$, demuestra que no suceden simultáneamente las desigualdades $a(1-b)>\frac{1}{4}$, $b(1-c)>\frac{1}{4}$ y $c(1-a)>\frac{1}{4}$.
Ejercicio 10. Si $x,y>0$, demuestra que $$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\leq \frac{x+y}{2}$$
Ejercicio 11. ¿Para qué valores de $x$ se satisface la desigualdad $$\frac{a|x|+1}{x}<1?$$
Ejercicio 12. Si $a,b>0$, demuestra que $$a+b-(2-\sqrt{2})\sqrt{ab}\leq \sqrt{a^2+b^2}$$
Ejercicio 13. Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo y denotamos por $\Delta$ al valor de su área, demuestra que $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}\Delta$$
Ejercicio 14. Si $a,b,c,d$ son reales positivos, demuestra que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq \frac{64}{a+b+c+d}$$
Ejercicio 15. Si $0<r<s$ y $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números reales positivos, demuestra que $$\left(\sum_{k=1}^na_k^s\right)^{\frac{1}{s}}\leq \left(\sum_{k=1}^na_k^r\right)^{\frac{1}{r}}$$
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