Sobre Desigualdades: Entrada 3

Después de olvidarme un poco de eso y al fin tener un poco de tiempo libre, continuemos con el estudio de desigualdades. El propósito de esta entrada es enunciar una desigualdad fundamental: La Desigualdad Media Geométrica-Media Aritmética. También, veremos una prueba completa de la desigualdad. Dejaremos las aplicaciones de la desigualdad para la siguiente entrada. Por ahora, vayamos al enunciado y prueba.

Teorema $($Desigualdad Media Geométrica - Media Aritmética$)$ Si $n\geq2$ y $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números reales no negativos, entonces $$\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n a_j $$donde la igualdad se da si, y sólo si, $a_1=a_2=\cdots=a_n$.



Demostración.  Primero notemos que si alguno de los números $a_i=0$, el resultado claramente se cumple. Supongamos que los números son todos positivos. La técnica que usaremos es un tipo especial de inducción matemática conocida como Forward-Backward Induction, o también conocida como Inducción a la Cauchy. La idea es la siguiente.

• Se demuestra el resultado para el caso base $n=2$.
• Se demuestra que si la afirmación es válida para cierto $n=k$, entonces la afirmación también es válida para $n=2k$.
• Se demuestra que si la afirmación es válida para para cierto $n=k>2$, entonces la afirmación es también válida para $n=k-1$.

Una vez demostrado lo anterior, tendremos que el resultado es válido para todo $n\geq2$.

Demostremos primero el caso base. Si consideramos $a_1,a_2>0$ entonces
\begin{eqnarray*}
0\leq(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2 &=& (\sqrt{a_1})^2-2\sqrt{a_1}\sqrt{a_2}+(\sqrt{a_2})^2\\ &=& a_1-2\sqrt{a_1a_2}+a_2 \\ &\Leftrightarrow& 2\sqrt{a_1a_2}\leq a_1+a_2\\ &\Leftrightarrow& \sqrt{a_1a_2} \leq\frac{a_1+a_2}{2}
\end{eqnarray*}donde la igualdad se da si y sólo si $\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2} = 0$ y esto es si y sólo si $a_1=a_2$. Con esto tenemos el caso base.

Ahora demostremos la segunda parte. Supongamos el resultado cierto para $n=k$. Lo demostraremos para $n=2k$. Consideremos $a_1,\ldots,a_{2k}$ números positivos. Aplicando el caso base y la hipótesis de inducción tenemos:
\begin{eqnarray*}
a_1+a_2+\cdots+a_{2k} &=& (a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\cdots+(a_{2k-1}+a_{2k})\\ &\geq& 2(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_3a_4}+\cdots+\sqrt{a_{2k-1}a_{2k}}))\\ &\geq& 2k(\sqrt{a_1a_2}\sqrt{a_3a_4}\cdots\sqrt{a_{2k-1}a_{2k}}))^{\frac{1}{k}}\\ &=&2k(a_1a_2\cdots a_{2k})^{\frac{1}{2k}}
\end{eqnarray*}donde en la primera desigualdad utilizamos el caso base y en la segunda desigualdad la hipótesis de inducción. Además, la igualdad en la primera desigualdad se da si y sólo sí $a_1=a_2$, $a_3=a_4$,$\ldots$, $a_{2k-1}=a_{2k}$, y en la segunda se da si y sólo si $$\sqrt{a_1a_2} =\sqrt{a_3a_4} =\cdots=\sqrt{a_{2k-1}a_{2k}}$$de donde concluímos que la igualdad en general se da si y sólo si $a_1=a_2=\cdots=a_{2k}$. Con esto tenemos la segunda parte.

Finalmente, para la tercera parte supongamos que el resultado para algún $n=k$. Lo demostraremos para $n=k-1$. Para ello consideremos $a_1,a_2,\ldots,a_{k-1}$ números reales positivos. De esta manera podemos definir un $k$-ésimo número $g=\sqrt[k-1]{a_1a_2\cdots a_{k-1}}$. Aplicando la hipótesis de inducción tenemos que
\begin{eqnarray*}
\frac{a_1+\cdots+a_{k-1}+g}{k}\geq \sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_{k-1}g} = \sqrt[k]{g^{k-1}\cdot g} =g
\end{eqnarray*}
De esta manera $a_1+\cdots+a_{k-1}+g = kg$, de donde $$\frac{a_1+\cdots +a_{k-1}}{k-1} \geq g = \sqrt[k-1]{a_1a_2\cdots a_{k-1}}$$demostrando así la desigualdad deseada. Por último, la igualdad se da si y sólo si $a_1=\cdots=a_{k-1}  = g$, que es equivalente a que $a_1=\cdots = a_{k-1}$, terminando así la demostración de la tercera parte.

Finalmente, como ya hemos demostrado los tres pasos, concluimos que el resultado es cierto para todo $n\geq2$, y $a_1,\ldots,a_n$ números reales no negativos, que era lo que queríamos demostrar.            $\blacksquare$