Demostración Geométrica en Teoría de Números

En matemáticas, cuando uno logra encontrar una demostración interdisciplinaria tiene cierto grado de elegancia. A continuación les presento una de mis favoritas, en donde se usan argumentos geométricos para dar solución a un problema de Teoría de Números. ¡Saludos!

Problema. Demostrar que todo número primo $p$ que se puede escribir como suma de dos números cuadrados, éstos son únicos.

Solución. Supongamos que $a^2+b^2=p=c^2+d^2$, por demostrar que $\{a,b\}=\{c,d\}$, es decir, la pareja es idéntica. Construyamos un cuadrilátero convexo $ABCD$ de tal manera que $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ y $AC=\sqrt{p}$. Demostraremos que el cuadrilátero $ABCD$ es un rectángulo cuyas diagonales miden $\sqrt{p}$. Consideremos la figura de arriba. Sea $BD=r$. Basta demostrar que $r=\sqrt{p}$

Sea $ABCD$ cuadrilátero. Como los $\bigtriangleup ABC$ y $\bigtriangleup ADC$ son rectángulos, entonces el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico, donde $AC$ es el diámetro, $BD$ una cuerda, de donde $BD\leq AC$, es decir $r\leq \sqrt{p}$.

Utilizando el Teorema de Ptolomeo, vemos que $$r\sqrt{p}=ac+bd$$A partir de aquí la estrategia es, por medio de juegos geométricos y algebraicos, ver que $\sqrt{p}\leq r$, y por lo anterior deducir que $r=\sqrt{p}$.

Denotemos como $\theta_1 = \angle BAC$, $\theta_2 = \angle CAD$, $\alpha_1 = \angle ADB = \angle ACB$ y $\alpha_2 = \angle DCA = \angle DBA$, esto por ser $ABCD$ un cuadrilátero cíclico.

Sea $X$ la intersección de $AC$ y $BD$, y también $BX=u$, $XD=v$ y $AX=t$.
Veamos ahora el $\bigtriangleup ABX$. Aplicando ley de los senos tenemos que
$$\frac{u}{\sin{\theta_1}}=\frac{t}{\sin{\alpha_2}}$$
Ahora bien, como $\bigtriangleup ABC$ y $\bigtriangleup ADC$ son rectángulos, podemos conocer sus senos y cosenos como razón entre sus lados en particular tenemos que $$ \sin{\theta_1} = \frac{b}{\sqrt{p}}\quad \quad \quad \mbox{En el $\bigtriangleup ABC$}$$
$$ \sin{\alpha_2} = \frac{d}{\sqrt{p}}\quad \quad \quad \mbox{En el $\bigtriangleup ADC$}$$
De donde obtenemos $$\frac{\sin{\theta_1}}{\sin{\alpha_2}} = \frac{b}{d}$$
Y utilizando la primera relación entre estos dos ángulos concluimos que
$$ \frac{u}{t} = \frac{\sin{\theta_1}}{\sin{\alpha_2}} = \frac{b}{d} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{u}{t}=\frac{b}{d} \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad u=\frac{tb}{d}$$
Razonando de manera análoga con $\theta_2$ y $\alpha_1$ obtenemos que $$v=\frac{tc}{a}$$
Es decir:
$$r=u+v=t\biggl(\frac{b}{d} + \frac{c}{a}\biggr) = t\biggl(\frac{ab+cd}{ad}\biggr)$$
Ahora usando la Potencia de $X$ respecto a la circunferencia tenemos que
$$t(\sqrt{p}-t) = uv = t^2\biggl(\frac{bc}{ad}\biggr)$$ $$\Rightarrow \quad \quad \sqrt{p}-t =t\biggl(\frac{bc}{ad}\biggr) $$ $$ \Leftrightarrow \quad \quad t = \frac{ad}{bc+ad}\sqrt{p}$$
Ahora sabemos el valor de $t$ en términos de $a,b,c$ y $d$. Sutituyendo este valor de $t$ en el valor de $r$ obtenemos: $$r = t\biggl(\frac{ab+cd}{ad}\biggr) = \sqrt{p}\biggl(\frac{ad}{bc+ad}\biggr)\biggl(\frac{ab+cd}{ad}\biggr) = \sqrt{p}\biggl(\frac{ab+cd}{bc+ad}\biggr)$$

Nuevamente, sustituyendo este valor de $r$ en la ecuación generada por el teorema de Ptolomeo obtenemos: $$p=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$$
Como $p$ es primo, de esto concluimos que $p\vert(ac+bd)$ o $p\vert(ad+bc)$

Aquí viene el razonamiento: como en nuestro cuadrilátero original podemos intercambiar el lugar donde van $c$ y $d$, podemos suponer que $p\vert(ac+bd)$ y continuar con nuestro dibujito original.

Utilizando ésto último tenemos $$p\leq ac+bd = r\sqrt{p} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \sqrt{p}\leq r$$ y como $r\leq \sqrt{p}$, finalmente concluimos que $r=\sqrt{p}$. Por lo tanto nuestro cuadrilátero cíclico, al tener diagonales congruentes y un par de ángulos opuestos que son rectángulos, es un rectángulo, donde $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos demostrar. $\blacksquare$