Tarea de Álgebra 2015

A continuación subo la tarea de álgebra de 2015. Ya saben, cualquier duda déjenla en los comentarios.

Tarea Álgebra 2015

Saludos.

Sobre Desigualdades: Entrada 3

Después de olvidarme un poco de eso y al fin tener un poco de tiempo libre, continuemos con el estudio de desigualdades. El propósito de esta entrada es enunciar una desigualdad fundamental: La Desigualdad Media Geométrica-Media Aritmética. También, veremos una prueba completa de la desigualdad. Dejaremos las aplicaciones de la desigualdad para la siguiente entrada. Por ahora, vayamos al enunciado y prueba.

Teorema $($Desigualdad Media Geométrica - Media Aritmética$)$ Si $n\geq2$ y $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números reales no negativos, entonces $$\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n a_j $$donde la igualdad se da si, y sólo si, $a_1=a_2=\cdots=a_n$.

Tarea de Geometría 2015

A continuación subo la tarea de Geometría de este año. Las instrucciones vienen en el documento.

Tarea de Geometría 2015

Para cualquier duda o aclaración, pueden comentar esta entrada o enviarle un correo a Angel.
Saludos.

Tarea de Teoría de Números 2015

¡Hola! Aquí les dejo la tarea de Teoría de Números. Las instrucciones vienen en el documento. Lean muy bien todo antes de empezar.

Tarea de Teoría de Números 2015

Para cualquier duda no duden en dejar un comentario o enviarme un correo.

¡Saludos!

Adrián Celes.

Sobre Desigualdades: Entrada 2

En la entrada 1, tratamos de estudiar un poco las desigualdades desde el punto de vista axiomático. Continuando con esa línea, veamos qué podemos obtener de lo anterior. El objetivo de esta entrada es introducir el concepto de valor absoluto, y ver algunas consecuencias de la desigualdad $x^2\geq0$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Sobre desigualdades: Entrada 1

Hola. Esta es la primera de una serie de entradas, en donde intentaré introducir un tema bastante recurrente en los problemas de olimpiada de matemáticas: las desigualdades. Cuando hablamos de representar los números reales, es bastante común pensar el conjunto de tales números como una línea recta, que tendrá un punto especial el cual será el "cero", que nos ayudará a identificar los números positivos y los negativos. Por otra parte, tenemos también la noción intuitiva de comparar números en la recta real, diciendo que uno es mayor que otro si está "más a la derecha". En ésta y las próximas entradas, abordaremos el tema con una pizca de formalismo, el cual nos ayudará a entender la importancia de ciertas propiedades, que en un principio nos parecen obvias y sin muchas consecuencias. Todo lo anterior lo intentaré hacer si perder el punto de vista intuitivo. Pues bien, ¡manos a la obra!

Principio del Descenso Infinito de Fermat

     A continuación estudiaremos una herramienta bastante usada en Teoría de Números. El Principio del Descenso Inifinito de Fermat $($PDIF$)$ establece que no hay sucesiones estrictamente decreciente de enteros positivos. Es decir:

No existe una sucesión de enteros positivos $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $a_1>a_2>a_3>\cdots$

De manera alternativa

Si una sucesión de enteros positivos $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ satisface que $a_1\geq a_2 \geq a_3 \geq\cdots ,$ entonces existe $i_0\in\mathbb{N}$ tal que $a_i = a_{i_0}$, para todo $i\geq i_0$.

A continuación veremos algunas aplicaciones bastante interesantes del PDIF.